عنوان پایان‌نامه
دینامیک یک معادله دیفرانسیل اسکالر با تاخیر
- رشته تحصیلی
- ریاضی کاربردی
- مقطع تحصیلی
- کارشناسی ارشد
- محل دفاع
- کتابخانه پردیس علوم شماره ثبت: 3779;کتابخانه مرکزی -تالار اطلاع رسانی شماره ثبت: 41217
- تاریخ دفاع
- ۳۰ بهمن ۱۳۸۷
- استاد راهنما
- احمد ماموریان, غلامرضا رکنی لموکی
- دانشجو
- صفورا نادری موحد
- چکیده
- چکیده در این پایان‌نامه به مطالعه یک سیستم دینامیکی اسکالر همراه با تاخیر می‌پردازیم. این بررسی بر اساس کارهای انجام گرفته در مقاله [??] بوده و در چهار بخش صورت گرفته که هر یک در چهارچوب یک فصل جداگانه تنظیم شده است. در فصل اول، مجموعه‌ای از مفاهیم و تعاریف بنیادی سیستم‌های دینامیکی مانندتعریف سیستم های دینامیکی، نقاط ایستا، مفهوم پایداری و قضایایی که در این پایان‌نامه از آنها بهره گرفته شده، آورده شده است. در فصل دوم به بررسی پایداری موضعی نقطه ایستا و همچنین شرایط بروز انشعاب خاصی به نام هوف مورد بررسی قرار می‌گیرد. پارامتر تاخیر موجود در این سیستم باعث بروز این انشعاب در بعد یک شده است. همچنین بروز این انشعاب به معنای ظهور خانواده‌ای از رفتارهای دوره‌ای می‌باشد. در حالت کلی این انشعاب یکی از دلایل بروز رفتارهای دوره‌ای در سیستم‌های دینامیکی می‌باشد. در فصل سوم به مطالعه پاسخ‌های دوره‌ای یا همان مدارهای بسته حدی پدید آمده از انشعاب پرداخته و جهت و نوع انشعاب را مشخص می‌نماییم. جهت انشعاب به معنای پایداری یا ناپایداری رفتارهای دوره‌ای پدید آمده می‌باشد و همچنین نوع انشعاب از لحاظ ابربحرانی بودن یا زیربحرانی بودن بررسی می‌شود. در فصل چهارم به مطالعه پاسخ‌های دوره‌ای به صورت سراسری پرداخته شده است. بررسی‌های صورت گرفته در این فصل با استفاده از مفاهیمی همچون اندازه لوزینسکی، معیاربندیکسون ودرجه براور برای نشان دادن ظهور پاسخ‌های دوره‌ای به ازای مقادیر مختلف پارامتر تاخیر انجام می‌شود. در فصل پنجم دو مدل زیستی از سیستم دینامیکی مورد مطالعه در این پایان‌نامه مطرح شده است. مدل اول مربوط به چگالی سلول‌های بالغ در جریان خون و مدل دوم مربوط به بقای گلبول‌های قرمز خون در حیوانات می‌باشد، که بروز رفتار دوره‌ای در این سیستم به معنای این است که گلبول‌های قرمز برای بقای خود بین یک مقدار کمینه و بیشینه تغییر می‌کنند و در هر لحظه سعی دارند به یک حلقه حدی پایدار نزدیک شوند. این دو مدل با استفاده از نتایج فصول قبل مورد مطالعه قرار گرفته و مثال‌هایی عددی از این دو مدل ارائه می‌گردد.
- Abstract
- Abstract In this dissertation,we study a scalar dynamical system with delay. Our investigations are based on the analyses in [19]. In the first chapter, there is a list of fundamental concepts of the dynamical systems theory such as the definition of equilibria, stability of a system and some important theorems like center manifold and normal form . In the second chapter, we study the stability of the equilibrium and the conditions on the parameters under which a Hopf bifurcation takes place. When a Hopf bifurcation occurs, a family of periodic solutions emanates from the equilibrium as the bifurcation parameter passes through a critical value. In the third chapter, we study the stability of periodic solutions and determine the direction of the Hopf bifurcation. In other words, we investigate whether the bifurcation is supercritical (the periodic solutions are stable) or subcritical (the periodic solutions are unstable). In the fourth chapter, by using the Lozinski measure, Bendixon criterion and Brower degree, we consider periodic solutions globally and show that such solutions emerge for different values of the delay parameter. In the fifth chapter, we give two biological models as examples of the system under investigation in previous chapters. The first one corresponds to the concentration of mature cells in the blood and the second one represents the dynamics of survival red blood cells in animals. Emergence of periodic solutions i n this example shows that the number of blood cells oscillates between a maximum and a minimum number.In this chapter some numerical examples of these two motwo models are presented.
