عنوان پایان نامه

تحلیل پایداری وکنترل سیستم های لوتکا-ولترا


    مقطع تحصیلی
    دكتری تخصصی PhD
    محل دفاع
    کتابخانه مرکزی پردیس 2 فنی شماره ثبت: E 3271;کتابخانه مرکزی پردیس 2 فنی شماره ثبت: E 3271
    تاریخ دفاع
    ۱۸ مهر ۱۳۹۶
    دانشجو
    وحید بدری
    استاد راهنما
    محمدجواد یزدان پناه

    معادلات لوتکا-ولترا یکی از پر کاربردترین معادلات در مدل‌سازی سیستم‌هایی است که عوامل تشکیل دهنده‌ی آن باهم برهم‌کنش دارند. این معادلات در حوزه‌های علوم اقتصادی، بیولوژیکی، شیمی، بیوشیمی، فیزیک پلاسما، محیط زیست، انواع شبکه‌ها و بسیاری از علوم دیگر کاربرد دارند. علی‌رغم گستردگی کاربرد، مباحث ریاضی مطرح شده در باب سیستم‌های لوتکا-ولترا بسیار مختصر، پیچیده و غیرکاربردی است. توسعه‌ی ابزار ریاضی برای تحلیل این سیستم‌ها می‌تواند تسلط ما را در حوزه‌های علمی ذکر شده عمیق‌تر سازد. در رساله‌ی حاضر، ابتدا معادلات لوتکا-ولترا معرفی شده و کاربردهای آن در حیطه‌های مختلف علوم مهندسی و پایه مطرح شد. با توجه به کاربردهای مدل و نتایج موجود در حوزه‌ی تحلیل پایداری و کنترل آن که اغلب برای مدل ایده‌آل است نامعینی رایج بازه‌ای برای پارامترهای آن نظر گرفته شد. در حضور این نوع نامعینی برای اولین بار تحلیل پایداری و کران‌داری سیستم لوتکا-ولترا انجام گرفت. در این تحلیل با استفاده از اطلاعات محدود از ابتدا و انتهای بازه‌ی نامعینی شرایط کافی برای پایداری مجانی فراگیر نقطه‌ی تعادل مثبت سیستم استخراج شد. نتایج به دست آمده در حوزه‌ی تحلیل پایداری برای طراحی فیدبک حالت خطی ثابت جهت پایدارسازی سیستم لوتکا-ولترا با نامعینی بازه ای استفاده شد که در مقایسه با نتایج موجود برای سیستم‌های خطی هزینه‌های محاسباتی به صورت چشم‌گیری کاهش یافت. این روش نیز همانند روش‌های موجود برای سیستم‌های خطی، بر پایه‌ی حل نامعادلات ماتریسی خطی بنا شده است. لازم به ذکر است که قانون کنترلی طراحی شده پایداری مجانبی فراگیر برای نقطه‌ی تعادل مثبت سیستم حلقه بسته را تضمین می‌کند. در ادامه با در نظر گرفتن محدودیت مثبت بودن ورودی کنترلی در برخی از کاربردها، طراحی فیدبک حالت صورت گرفت. با اختصاص دینامیک وابسته به حالات سیستم برای ورودی کنترلی، مثبت بودن سیگنال کنترلی تضمین شد. این روش منجر به فیدبک حالت غیرخطی ثابت برای سیستم‌های لوتکا-ولترا با نامعینی بازه‌ای شد که نقطه‌ی تعادل مثبت سیستم حلقه بسته را به صورت مجانبی فراگیر پایدار می‌کند. تمامی نتایج حاصل شده در بخش‌های مختلف اعم از تحلیل پایداری و کنترل سیستم‌های لوتکا-ولترا در حضور نامعینی بازه‌ای، با استفاده از چندین مثال کاربردی و عددی اعتبارسنجی شده‌ و کاربردی بودن‌شان به اثبات رسید. واژه‌های کلیدی: سیستم لوتکا-ولترا، تحلیل پایداری، طراحی کنترل‌کننده، ماتریس برهم‌کنش، نامعینی بازه‌ای و کران‌داری پاسخ
    Abstract
    Lotka-Volterra equations are one of the useful equations in the modeling of the systems in which the constituent elements are in interaction with each other. These equations are used in economic science, chemical, biochemical and biological systems, plasma physics, network systems and etc. Despite of widespread usage of Lotka-Volterra equations, the mathematical tools developed for analyzing these equations are not so practical. The enhancement of the mentioned tools leads to the more control in the application areas of these equations. In the present thesis, first, Lotka-Volterra equations are introduced and the application areas of them are reviewed. According to the literature review, interval uncertainty is considered for Lotka-Volterra model to make the results more realistic. The stability analysis and the solution boundedness of this model are studied for first time in the present thesis. The sufficient condition for stability of the positive equilibrium point of the uncertain Lotka-Volterra systems was extracted using lower and upper bounds of the uncertainty interval. The obtained results in the stability analysis of Lotka-Volterra systems are employed for designing fixed linear state feedback law to stabilizing the positive equilibrium point of the Lotka-Volterra systems with uncertain parameters. This method is based on solving a set of linear matrix inequalities as the methods have been proposed for linear systems in the literature. It was shown that the proposed stabilizing method has some advantaged in comparison with its counterpart developed for linear systems from the computational cost viewpoint. It is worth noting that the obtained controller guarantees global asymptotic stability of the feasible equilibrium point of the close-loop system. In some cases, owing to the nature of the systems or the practical limitations, the applied control effort should be positive. To deal with this problem, a state dependent dynamic is allocated for the control input which ensures the positiveness of it. This idea results in a non-linear state feedback with the quasi-monomial structure. The existence of such a global asymptotic stabilizing feedback depends on the existence of a feasible solution for a linear matrix inequality. The controller parameters are obtained from feasible solution of the mentioned linear matrix inequality. All the obtained results for the stability analysis and the stabilizing problem of the Lotka-Volterra systems in presence of interval uncertainty are confirmed through several numerical and application-based examples. Keywords: Lotka-Volterra systems, Stability analysis, Controller design, Interaction matrix, Interval uncertainty and Trajectory boundedness